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Soit u la suite définie pour tout entier naturel n par un = 2n + 1

La suite u est définie par une relation fonctionnelle
u_n en fonction de n

La relation fonctionnelle permet de calculer n'importe quel terme de la suite, par exemple :

u₀ = 2x0 + 1 = 1
u₄ = 2x4 + 1 = 9
u₁₀ = 2x10 + 1 = 21
etc

Fonction qui affiche u_n : le terme de la suite de rang n

Une fonction en algorithmique et en programmation possède :
• un nom
• des entrées
• des sorties

Nous allons appeler notre fonction calcultermefct
Elle a une entrée, que nous appellerons n
Elle a une sortie, que nous appellerons u



Ainsi, quand on entrera une valeur de n, la fonction nous renverra en sortie la valeur du terme de rang n
Exemple :
calcultermefct(1) = 1
calcultermefct(4) = 9
calcultermefct(10) = 21

Voici l'algorithme et le programme python de cette fonction

algorithme	fonction python
définir calcultermefct(n) u ⟵ 2n + 1 renvoyer u	def calcultermefct(n) : u = 2*n + 1 return(u)

Ouvrir Edupython
Ecrire la fonction dans la fenêtre d'édition
exécuter cette fonction (bouton "run")
Ecrire dans la console : calcultermefct(1)
le résultat 3 s'affiche
Ecrire dans la console : calcultermefct(4)
le résultat 9 s'affiche
Ecrire dans la console : calcultermefct(10)
le résultat 21 s'affiche

Soit u la suite définie pour tout entier naturel n par u0 =1 et un+1 = 2 un + 1

La suite u est définie par une relation de récurrence
u_n+1 en fonction de u_n

Voici les 4 premiers termes de cette suite
u₀ = 1
u₁ = 2 u₀ + 1 = 2x1 + 1 = 3
u₂ = 2 u₁ + 1 = 2x3 + 1 = 7
u₃ = 2 u₂ + 1 = 2x7 + 1 = 15

Si on veut calculer u₁₀ , comme on ne connaît pas de relation fonctionnelle (c'est-à-dire u_n en fonction de n)
on est obligé de calculer "petit à petit" u₅ puis u₆ puis u₇ puis u₈ puis u₉ puis u₁₀

Cela est "un peu" long...
Imaginez si on demande u₁₀₀₀

Pour calculer u₁₀ , il faut donc écrire ceci :

u ⟵ 1 (u prend la valeur 1)

u ⟵ 2u + 1 (u prend la valeur 2x1 + 1 = 3) u ⟵ 2u + 1 (u prend la valeur 2x3 + 1 = 7) u ⟵ 2u + 1 (u prend la valeur 2x7 + 1 = 15) u ⟵ 2u + 1 (u prend la valeur 2x15 + 1 = 31) u ⟵ 2u + 1 (u prend la valeur 2x31 + 1 = 63) u ⟵ 2u + 1 (u prend la valeur 2x63 + 1 = 127) u ⟵ 2u + 1 (u prend la valeur 2x127 + 1 = 255) u ⟵ 2u + 1 (u prend la valeur 2x255 + 1 = 511) u ⟵ 2u + 1 (u prend la valeur 2x511 + 1 = 1023) u ⟵ 2u + 1 (u prend la valeur 2x1023 + 1 = 2047)

On s'aperçoit qu'on répète 10 fois la même instruction !
Pour aller plus vite, on pourrait écrire

u ⟵ 1

répéter 10 fois u ⟵ 2u + 1

Pour répéter plusieurs fois la même instruction, les langages de programmation utilisent une instruction répétitive
qu'on appelle une boucle Pour

Une boucle Pour utilise un compteur (ici une variable qu'on va appeler k), qui est automatiquement augmenté de 1 (on dit incrémenté)
après l'exécution de l'instruction à répéter (on dit après chaque passage dans la boucle)

On pourrait faire la comparaison avec un coureur à pied qui doit boucler 10 tours de piste (en partant de la ligne de départ)
avec un compteur qui vaut 0 au départ et qui s'incrémente à chaque passage sur la ligne...
Lorsque le compteur passe à 10, la course est finie

Dans le fichier suivant, cliquer sur le bouton "Top Départ..."
(il peut arriver que le fichier bugue à cause d'internet, si le point "saute" la ligne d'arrivée )



Voici donc notre algorithme, et sa traduction en Python

algorithme	programme Python
u ⟵ 1 Pour k allant de 0 à 9 u ⟵ 2u + 1	u = 1 for k in range(10) : u = 2*u + 1

for k in range(10) veut dire que le compteur k prend successivement pour valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9
La boucle s'arrête dès que le compteur vaut 10
La boucle est donc bien répétée 10 fois

for k in range(10) est la traduction Python de répéter 10 fois

Nous pouvons alors écrire notre fonction qu'on va appeler calcultermerécur
avec 1 entrée n et 1 sortie u

algorithme	fonction Python
définir calcultermerécur(n) u ⟵ 1 Pour k allant de 0 à n-1 débutpour u ⟵ 2u + 1 finpour renvoyer u	def calcultermerécur(n) : u = 1 for k in range(n) : u = 2*u + 1 return(u)

En Python, il n'est pas nécessaire d'écrire début et fin
car on décale l'instruction à répéter
(ainsi, le "return" ne fait pas partie de la boucle)

Ecrire la fonction dans la fenêtre d'édition
exécuter cette fonction (bouton "run")
Ecrire dans la console : calcultermerécur(2)
le résultat 7 s'affiche
Ecrire dans la console : calcultermerécur(4)
le résultat 31 s'affiche
Ecrire dans la console : calcultermerécur(10)
le résultat 2047 s'affiche