GeoGebra / Seconde : TP2 : Recherche d'une longueur minimale

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Bonjour à tous

Pour commencer... un petit échauffement de 5 minutes

Dans le fichier suivant, voir les tutoriels, faire l'exercice,
puis faire l'Auto Test

Si vous n'obtenez pas 10 / 10, recommencer

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Voici maintenant notre premier problème
Les flèches jaunes sont à faire avec GeoGebra
Les flèches rouges sont des questions : répondez sur le cahier d'exercices

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On souhaite installer des canalisations d'eau, provenant d'un point M situé dans une rivière [IK], et atteignant les villages A et B

AI = 5 km, BK = 7 km et IK = 18 km

Le but de l'exercice est :
1) de trouver la position exacte du point M sur le segment [IK]
pour que la distance AM + MB soit minimale (c'est-à-dire la plus petite possible) afin d'utiliser le moins de tuyaux possible !
2) de donner la valeur exacte de la longueur totale de tuyaux à prévoir

Voici la figure
On peut déplacer le point M

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Réalisation de la figure avec GeoGebra

Ouvrir GeoGebra
Créer le point I en le plaçant à l'origine du repère, en écrivant I=(0,0) dans la saisie
Créer les points A, K et B, en écrivant leurs coordonnées dans la saisie
Cacher le repère (ouvrir la barre de style (petit triangle à gauche du mot Graphique) et cliquer sur l'icône du repère)
Créer (avec l'outil "Segment") les segments [AI], [IK] et [KB] puis enlever les étiquettes de ces segments (clic droit sur les segments)
Créer un point M sur le segment [IK] (avec l'outil "Point")
Déplacer (avec l'outil "Déplacer") le point M pour vérifier qu'il reste bien sur le segment [IK]
Créer les segments [IM], [AM] et [MB] (avec l'outil "Segment") : les appeler a, b et c comme sur la figure (clic droit : Renommer)
Créer la longueur d=MA + MB (en écrivant dans la saisie d=b+c )

Attraper le nombre d dans la fenêtre Algèbre, et le faire glisser dans le graphique
Faire de même pour le nombre a

Déplacer le point M, et répondre à la question 1) du problème
en observant les valeurs de a et de d

[jumera]

Une autre façon de voir...

Quand on déplace le point M sur le segment [IK], la somme d = MA + MB = b + c change
Quand on fait varier a, d change
On peut dire que d dépend de a ou bien que d est fonction de a

On a donc une fonction qui, à toute valeur de a associe une valeur de d
Dans le fichier suivant, déplacer le point M pour voir fonctionner la fonction..!


Nous allons demander à GeoGebra de tracer la courbe représentative de cette fonction

Afficher le repère
Créer le point P de coordonnées ( a ; d ) en écrivant P=(a,d) dans la saisie

Tourner la molette pour apercevoir le point P
Déplacer le point M, et observer le point P
Afficher la trace du point P (clic droit sur le point P) et déplacer le point M

Une courbe se construit point par point

Déplacer le point M sur la position cherchée de l'exercice
Où est alors situé le point P sur la courbe ?
Quelles sont ses coordonnées ?

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GeoGebra nous a montré les réponses au problème posé
mais ces réponses sont approximatives

Pour connaître les valeurs exactes des réponses, il faut faire une démonstration mathématique


Créer (avec l'outil "Symétrie axiale") le symétrique A' du point A par rapport au segment [IK]
Créer les segments [IA'] et [MA']

1) Quand M est à la position cherchée, comment semblent être placés les points A', M et B ?

2) En remarquant que MA' = MA et que d = MA' + MB,
expliquer pourquoi les points A', M et B sont alignés quand M est à la position cherchée (aucun calcul n'est à faire pour répondre à la question...)
3) Quand M est à la position cherchée (c'est-à-dire quand A', M et B sont alignés)
a) exprimer la distance MK en fonction de a
b) trouver par le calcul la valeur exacte de la distance a=IM
Il y a du Thalès dans l'air…
(Quand A', M et B sont alignés, observer la figure pour voir la configuration de Thalès)
4) Trouver alors les valeurs exactes des distances MA et MB
Il y a du Pythagore dans l'air…
5) Donner la valeur exacte de la longueur minimale de tuyaux à prévoir,
puis donner un encadrement de cette longueur minimale de tuyaux au mètre près

[jumera]

: Correction des questions :(Voir)

1) Quand M est à la position cherchée, A', M et B semblent alignés

2) Par symétrie, AM = A'M
donc d = AM + MB = A'M + MB
Quand M est à la position cherchée, A', M et B sont alignés, car sinon la distance d = A'M + MB est plus grande
(le trajet bleu est plus long que le trajet rouge : la ligne droite est le plus court chemin)


3) a) MK = IK- IM = 18 - a
b) On a une configuration de Thalès : voir la figure


Il faut donc résoudre cette équation (en utilisant le produit en croix)
Faites-le, pour trouver la valeur exacte de a
4) Avec Pythagore dans le triangle A'IM rectangle en I, on trouve la valeur exacte de A'M
et avec Pythagore dans le triangle MKB rectangle en K, on trouve la valeur exacte de MB
5) Donner alors les réponses au problème