Simulation d'échantillons (avec la loi de Bernoulli)

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Loi de Bernoulli

On répète une expérience aléatoire qui n'a que 2 issues possibles 0 ou 1 Si la probabilité d'obtenir 1 est égale à p, la variable aléatoire X qui compte le nombre de 1 suit la loi de Bernoulli de paramètre p

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Simulation d'échantillons de taille n avec la loi de Bernoulli de paramètre p

Exemple : on lance 25 fois un dé non truqué
et on s'intéresse à l'apparition d'un SIX

On voudrait connaître les probabilités d'obtenir 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... , 25 SIX

Pour cela, on simule des échantillons de taille n = 25
avec la loi de Bernoulli de paramètre p = 1/6 ≈ 0,167

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Bouger le curseur p
puis cliquer sur le bouton "Commencer"

Cliquer sur le bouton "Nouvel échantillon" pour simuler un nouvel échantillon
ou cliquer sur les boutons "Play" et "Pause" pour lancer ou stopper l'animation

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1) Nuage de points

Chaque point représente la fréquence de Succès dans l'échantillon

(Le bouton "Tableau" montre tous les résultats obtenus)




2) Diagramme

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Choisir les valeurs de n et de p (paramètre de la loi de Bernoulli), puis valider

Cliquer sur le bouton "Nouvel échantillon" pour simuler un nouvel échantillon
ou bien cliquer sur les boutons "Play" et "Pause" pour lancer ou arrêter l'animation

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Le bouton "Tableau" montre les nombres de 1 (Succès) et les fréquences obtenus dans la totalité des échantillons

Les bâtons représentent les fréquences de 1 (Succès) dans tous les échantillons

Plus le nombre d'échantillons augmente, plus les fréquences observées se stabilisent et se rapprochent des probabilités

Le bouton "<>" montre les probabilités

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Une expérience de Bernoulli de paramètre p, est une expérience aléatoire qui n'a que 2 issues possibles :
1 (avec la probabilité p) ou 0 (avec la probabilité 1-p)
Lorsqu'on répète n fois, de façon indépendante, cette expérience aléatoire, on obtient un échantillon de taille n (avec une fréquence f de 1 obtenus)

On simule N échantillons de taille n

Cliquer sur le bouton "Commencer"
Choisir les valeurs de N, n et p en bougeant les curseurs, puis lancer la simulation

1) Lancer une nouvelle simulation et observer la fluctuation des fréquences f quand n varie
2) Cocher les cases et observer que 2s ≃ 1 / √n