GeoGebra : La loi binomiale

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La loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p)
est la loi de probabilité de la variable aléatoire X
qui donne le nombre de succès
dans un schéma de Bernoulli
(n est le nombre de répétitions et p est la probabilité de succès)

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1) Tableau de probabilités de la loi binomiale

Une loi binomiale est une loi de probabilité
Une loi de probabilité X est déterminée par la donnée d'un tableau
contenant les valeurs possibles de X avec les probabilités correspondantes

Exemple : X est le nombre de "Pile" obtenus quand on lance 2 fois de suite une pièce de monnaie

k	0	1	2
p(X=k)	0,25	0,5	0,25

Ouvrir GeoGebra
Créer 2 curseurs n et p
Ouvrir le tableur de GeoGebra (Menu > Affichage)
Créer dans la colonne A la liste des nombres entiers naturels
Ecrire dans la cellule B1 la formule =Binomiale[n,p,A1,false] et la tirer vers le bas
Menu > Options > Arrondi > 3 décimales
Retrouver le tableau précédent
Déplacer les curseurs


2) Représentation graphique de la loi binomiale

On peut représenter un tableau par un histogramme
Voici l'histogramme de la loi binomiale B(2,0.5)




Dans la saisie, écrire Binomiale[n,p]
Retrouver l'histogramme précédent
Astuce : Pour modifier l'échelle sur l'axe des ordonnées seulement, placer le curseur sur l'axeY, et déplacer en maintenant la touche "Shift" enfoncée
Déplacer les curseurs

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Echantillon

Un échantillon de taille n est obtenu en prélevant au hasard, n élements d'une population

Ex : Une usine fabrique des téléphones portables en très grand nombre
Le patron de l'usine affirme que seulement 6% de la production annuelle a un défaut de fabrication
Comment vérifier ?

Bien sûr, on ne peut pas vérifier un par un les millions de téléphones produits dans l'année !
On prélève donc un échantillon de taille 100 et on trouve 9% de téléphones défectueux

Peut-on remettre en cause l'affirmation du patron ?


Intervalle de fluctuation avec la loi binomiale

L'intervalle de fluctuation c'est l'intervalle dans lequel on trouve 95% des fréquences obtenues lors de la répétition d'une expérience aléatoire

On a déjà vu, en Seconde, un intervalle de fluctuation (voir ici)

Avec la loi binomiale, on peut trouver facilement un autre intervalle de fluctuation plus précis : L'intervalle [ a/n , b/n ]
où n est la taille de l'échantillon
et a et b se trouvent à partir du tableau des probabilités, en éliminant les valeurs "extrèmes" de k

a est le plus petit entier tel que p(X≤a) > 0,025
b est le plus petit entier tel que p(X≤b) ≥ 0,975

Pour bien voir ces valeurs, il faut fabriquer le tableau des probabilités cumulées croissantes

Créer, dans la colonne C, les probabilités cumulées croissantes
Pour cela, écrire dans la cellule C1 la formule =Binomiale[n,p,A1,true] et la tirer vers le bas
Grâce à ce tableau, on peut trouver les valeurs de a et de b

Exemple : Mettre n à 10 et p à 0.5
a= 2 et b= 8 n'est-ce pas ?
Cela veut dire qu'en lançant 10 fois une pièce de monnaie (par exemple), l'intervalle de fluctuation est [0,2 ; 0,8]
il y a donc 95% de chances d'obtenir une fréquence de succès (Pile par exemple) entre 0,2 et 0,8

Prise de décision

Revenons à notre patron d'usine
On va faire l'hypothèse qu'il dit vrai
c'est-à-dire que 6% de ses téléphones ont un défaut

Puis déterminer l'intervalle de fluctuation pour notre échantillon

et voir si 9%=0,09 se trouve dans cet intervalle…

Si c'est le cas, il n'y a aucune raison de douter de l'affirmation du patron…

Alors ? Verdict ??...

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>> psttttt <<