Un nombre plus grand que l'infini ?!

[jumera]

Réponse à la question précédente...
Les ensembles Z, D et Q sont-ils dénombrables ? c'est-à dire : peut-on compter leurs éléments ?
(Mathématiquement, existe-il une bijection entre N et Z(ou D ou Q) ?)

La réponse est... oui..!

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On peut compter les éléments de Z très facilement
en alternant les positifs et les négatifs
0 , 1 , -1 , 2 , -2 , 3 , -3 , 4 , -4 etc

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Q est l'ensemble des fractions a/b, a et b étant 2 entiers

On peut alors écrire toutes les fractions positives dans un tableau à double entrée

Et alors, on peut compter les éléments de Q
par exemple comme ceci :
0/1 , (0/2) , 1/1 , 2/1 , 1/2 , (0/3) , (0/4) , 1/3 , (2/2) , 3/1 , 4/1 , 3/2 , 2/3 , 1/4 , (0/5) , (0/6) etc...
(on ne compte pas les éléments déjà comptés (ex : 2/2 = 1/1)
et pour compter les négatifs, on alterne comme pour Z)


On peut aussi représenter les fractions a/b par un point de coordonnées entières (a ; b) dans un repère
et compter les rationnels avec cette spirale
(en ne comptant pas les points sur l'axe des ordonnées (fractions à dénominateur nul), ni les points de fractions déjà comptées)

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D étant l'ensemble des fractions a/10^n, on compte les décimaux de la même façon :
en prenant comme dénominateurs 1, 10, 100, 1000 etc...

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Les ensembles N, Z, D et Q sont dénombrables L'ensemble R n'est pas dénombrable R est formé de nombres rationnels (appartenant à Q) et de nombres irrationnels Les nombres irrationnels sont infiniment plus nombreux que les nombres rationnels