Tableur / Première : Variations et limite d'une suite

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Ouvrir un tableur (GeoGebra ou OpenOfficeCalc ou ...)
et "voir" les premiers termes des suites suivantes :

• La suite (Un) définie pour tout n entier naturel par Un = n²
• La suite (Vn) définie pour tout n entier naturel par Vn = n¹⁰
• La suite (Wn) définie pour tout n entier naturel par Wn = 2ⁿ

(Voir)

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Nous allons maintenant conjecturer le sens de variation d'une suite
c'est-à-dire si ces suites sont croissantes, constantes ou décroissantes

Pour les 3 suites précédentes, on s'aperçoit que les termes augmentent
On peut conjecturer que ces suites sont croissantes

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Nous allons aussi conjecturer la limite d'une suite
c'est-à-dire ce que deviennent les termes de la suite quand n tend vers l'infini

Pour les 3 suites précédentes, on s'aperçoit que les termes augmentent de plus en plus
On peut conjecturer que la limite de ces suites est +∞

La limite d'une suite est +∞ si, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont supérieurs à n'importe quel nombre (aussi grand qu'on veut..!)

On remarque également qu'il y a des suites qui vont "plus vite" que d'autres
A votre avis, la suite (Wn) va-t-elle dépasser la suite (Vn) ?

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Voir les premiers termes de la suite (P_n) définie par :
P₀ = 8 et pour tout n ≥ 1 : P_n+1 = 0,5 P_n

Observer qu'au bout d'un moment, les termes de la suite (P_n) valent 0
Est-ce exact ? Pourquoi ?

(Voir)

On peut conjecturer que la limite de la suite (P_n) est 0
ou bien que
la suite (P_n) converge vers 0

La limite d'une suite est 0 si, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont entre 0 et n'importe quel nombre (aussi proche de 0 qu'on veut..!)

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Exercice : Ouvrir une autre feuille de calcul et visualiser les premiers termes des suites
et conjecturer leurs sens de variation et leurs limites

1) U₀ = -2 et pour tout n ≥ 1 : U_n+1 = 2 U_n
2) Un = 1/n pour tout n ≥ 1
3) Un = (6n - 3 ) / (2n - 2 ) pour n > 1
4) U₀ = 10 et pour tout n ≥ 1 : U_n+1 = 0,5 U_n + 1
5) U₀ = 30 et pour tout n ≥ 1 : U_n+1 = -0,5 U_n + 6
6) U_n = sin ( n )

(Voir)

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Conjecturer la convergence des suites (Sn), (Tn) et (Un) suivantes

(Voir)

Pour créer ces suites dans le tableur de GeoGebra, il faut créer une séquence >> voir ICI <<
et écrire :
• dans la cellule B2 : =Somme(Séquence(1 / i, i, 1, A2))
• dans la cellule C2 : =Somme(Séquence(1 / 2^i, i, 1, A2))
• dans la cellule D2 : =Somme(Séquence(1 / n^2, i, 1, A2))

La convergence de la suite (Sn) se conjecture... et se démontre facilement
car c'est la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison 1/2

Quant aux suites (Tn) et (Un)... convergentes..? divergentes..?