GeoGebra / Seconde / TP3 : Une égalité d'aire

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Bonjour

Voila le problème du jour...

Le carré ABCD a un côté de longueur 8 cm.
M est un point du segment [AB]
On dessine dans le carré ABCD
• un carré de côté [AM]
• un triangle isocèle de base [MB] et dont la hauteur a même
mesure que le côté [AM] du carré.



Dans la figure ci-dessus, déplacer le point M

On voit bien que les aires du carré orange et du triangle rouge dépendent de la position du point M sur le segment [AB]

Question : A quelle distance du point A faut-il placer exactement le point M pour que l'aire du carré orange soit égale à l'aire du triangle rouge ?

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Les flèches à faire sur GeoGebra
Les flèches à faire sur le cahier d'exercices…

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1) Voir la réponse avec GeoGebra

Cacher le repère et montrer la grille

Faire la figure avec GeoGebra
(Si vous débutez avec GeoGebra, lire le Tutoriel 1 et le Tutoriel 2)
(Pour créer le carré et le triangle, utiliser les outils Polygone régulier et Polygone : Voir ICI et LA)

Afficher les aires du carré et du triangle (Il y a un outil pour cela...)

En déplaçant le point M, trouver les 2 solutions du problème
(Afficher la distance AM : Il y a un outil pour cela...)

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2) Lecture graphique des solutions du problème

Appelons x la longueur AM
Quand x varie, les aires des carrés et du triangle changent
On peut dire que l'aire du carré et l'aire du triangle sont fonction de x

On a donc une fonction (que nous appelerons c) qui à toute valeur de x, associe une valeur de l'aire du carré
et une fonction (que nous appelerons t) qui à toute valeur de x, associe une valeur de l'aire du triangle

x est donc la distance AM
c(x) est l'aire du carré
t(x) est l'aire du triangle



Chercher la position du point M pour que les aires du carré et du triangle soient égales
cela revient à résoudre l'équation c(x) = t(x)

Nous allons demander à GeoGebra de nous montrer graphiquement les solutions de cette équation

Faire apparaître le repère et la grille
sélectionner la figure avec la souris, pour placer la figure "à gauche de l'axe des ordonnées"
et laisser la place "à droite de l'axe des ordonnées" pour la courbe...

La courbe représentative d'une fonction f est l'ensemble des points de coordonnées ( x ; f(x) )

Créer le point S de coordonnées ( x ; c(x) ) dans la saisie (en remplaçant x et c(x) par les noms que leur a donné GeoGebra)
Attention à la syntaxe : Geogebra traduit, par exemple A( 1 ; 2 ), par A=(1,2)

Déplacer le point M
Le point S se déplace sur la courbe représentative de la fonction c

Activer la trace de S (clic droit sur S) et déplacer le point M
La courbe représentative de la fonction c se construit point par point

Créer de même la courbe représentative de la fonction t
en créant un point T

Où lit-on les solutions sur le graphique ?
Combien valent ces solutions ?

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Créer un texte (il y a un outil pour cela) avec la phrase suivante (à compléter)

Les solutions de l'équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . sont les . . . . . . . . . des points d' . . . . . . . . . . . . des courbes représentatives des fonctions c et t

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GeoGebra nous donne une valeur approchée de la deuxième solution
Une démonstration est donc nécessaire pour trouver la valeur exacte de cette solution

3) Démonstration mathématique

Faire la figure sur le cahier d'exercices
Appeler x la distance AM
Exprimer c(x) (l'aire du carré) en fonction de x
Exprimer t(x) (l'aire du triangle) en fonction de x
Résoudre l'équation c(x) = t(x) pour trouver les 2 solutions (et la valeur exacte de la deuxième solution)

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Voir la figure et déplacer le point M...