Tableur de GeoGebra / Seconde : Simulation

[jumera]

I) Pile ou Face

On lance 1 pièce de monnaie (non truquée)
On gagne le jeu si la pièce tombe sur Pile
Quelle est la probabilité de gagner ?

Facile...
Il y a une chance sur deux que la pièce tombe sur Pile...
Donc la probabilité de gagner est ..?

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Nous allons simuler ce jeu avec le Tableur de GeoGebra
On représentera PILE par le nombre 0, et FACE par le nombre 1

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Pour cela, on va utiliser des formules utilisant des commandes du Tableur

Dans ce TP, nous allons utiliser les 3 commandes suivantes :

1) AléaEntreBornes[nombre,nombre]
Exemple : AléaEntreBornes[5,9] donne un nombre aléatoire entier entre 5 et 9

2) Si[condition,alors,sinon]
Exemple : Si[A1>=10,"J'ai mon BAC","Je redouble ma Terminale"]
Si le nombre dans la cellule A1 est ≥ à 10 alors on écrit "J'ai mon BAC" sinon on écrit "Je redouble ma Terminale"
Exemple : Si[A1==0,"c'est nul","ce n'est pas nul"]
Si le nombre dans la cellule A1 est égal à 0 alors on écrit "c'est nul" sinon on écrit "e n'est pas nul"

3) NbSi[condition,plage]
Exemple : NbSi[x≥4,G1:G100] calcule le nombre de nombres supérieurs à 4 dans la plage G1:G100
Exemple : NbSi[x=="coucou",G1:G100] calcule le nombre de "coucou" dans la plage G1:G100

Attention : Si la condition est une égalité, on utilise == et non pas = (comme sur AlgoBox !)

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Pour commencer, nous allons simuler 10 parties

Ouvrir le Tableur de GeoGebra (Menu > Affichage) et fermer les autres fenêtres (croix dans le coin en haut à droite des fenêtres)
Cliquer sur le bouton f_x pour voir la barre de formules
Dans la cellule A1, écrire "Codage"
Dans la cellule A2, écrire un nombre aléatoire 0 ou 1 : Utiliser la commande AléaEntreBornes()
Recopier la cellule A2 vers le bas pour simuler 10 parties

Faire ctrl + R (sur un Mac, faire cmd + R)
Le tableur recalcule les nombres aléatoires
Cela permet de faire une autre simulation de 10 parties
( recommencer ctrl + R pour bien voir )

Dans la cellule B1, écrire "Pièce"
Dans la cellule B2, écrire "Pile" ou "Face" (Je rappelle qu'on a choisi : 0 pour Pile et 1 pour Face) : Utiliser la commande Si
Recopier la cellule B2 vers le bas

Dans la cellule C1, écrire "Résultat"
Dans la cellule C2, écrire "Gagné" ou "Perdu" : Utiliser encore la commande Si
Recopier la cellule C2 vers le bas

Dans la cellule D1, écrire "Effectif"
Dans la cellule D2, écrire le nombre de fois qu'on a gagné : Utiliser la fonction NbSi

Dans la cellule E1, écrire "Fréquence"
Dans la cellule E2, écrire la fréquence correspondant au nombre de fois qu'on a gagné

Faire ctrl + R pour recalculer
et observer la fréquence correspondant au nombre de fois qu'on a gagné
Que dire de cette fréquence ?
Est-elle toujours égale à 0,5 ?
Pourquoi ?

: réponse : (Voir)

Cette fréquence varie beaucoup... On trouve :
rarement des 0 ou 1
très peu de 0,1 ou 0,9
un peu plus de 0,2 ou 0,3 ou 0,7 ou 0,8
beaucoup plus de 0,4 ou 0,5 ou 0,6

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Simuler maintenant 100 parties

Sélectionner les cellules A2, B2 et C2 et recopier vers le bas
Modifier les cellules D2 et E2

recalculer et observer la fréquence correspondant au nombre de fois qu'on a gagné
Que dire maintenant de la fréquence ?

: réponse : (Voir)

Les fréquences observées sont beaucoup plus proches de 0,5
Il est très fréquent d'obtenir des fréquences entre 0,4 et 0,6

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Simuler maintenant 1000 parties

recalculer et observer la fréquence correspondant au nombre de fois qu'on a gagné
Qu'observe-t-on ? fréquence ?

: réponse : (Voir)

Les fréquences obtenues "tournent" autour de 0,5
Il est très fréquent d'obtenir des fréquences entre 0,450 et 0,550

Si on représente graphiquement les fréquences obtenues,
on obtient une courbe dont l'axe de symétrie est à 0,5

Plus le nombre de simulations augmente
plus la courbe est "resserrée" autour de 0,5

Avec des ordinateurs puissants, qui sont capables de faire des milliards de simulations,
on comprend qu'ainsi, on peut calculer n'importe quelle probabilité..!

Conclusion ?

: réponse : (Voir)

Plus le nombre de simulations augmente
plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité cherchée

[jumera]

II) Pile ou Face (bis)

On lance 2 pièces de monnaie (non truquées)
On gagne le jeu si on a Pile sur une pièce, et Face sur l'autre pièce
Quelle est la probabilité de gagner ?

Facile...
On a 3 possibilités : Pile-Pile , Pile-Face et Face-Face. La probabilité de gagner est donc 1/3

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Pour savoir si ce raisonnement est juste, simuler sur le tableur 250 lancers de 2 pièces
Conjecturer (en recalculant) la fréquence correspondant à notre question.

La probabilité de gagner semble-t-elle être égale à 1/3 ?

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Sur le cahier d'exercices, faire un tableau à double entrée ou bien un arbre pour visualiser toutes les possibilités
Démontrer la probabilité conjecturée avec le tableur

La probabilité de gagner est-elle égale à 1/3 ?

[jumera]

III) Somme de deux dés

On lance 2 dés (non truqués) et on ajoute les numéros obtenus
Quelle est la somme qui a le plus de chances d'apparaître ?

Simuler 250 parties avec le tableur
Calculer les fréquences d'apparition de toutes les sommes possibles
Recalculer l'échantillon et observer les fréquences
Conjecturer la somme correspondant à la fréquence la plus grande

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Sur le cahier d'exercices, faire un tableau à double entrée ou bien un arbre pour visualiser toutes les possibilités
Quelle est la somme qui a le plus de chances d'apparaître ?
Quelle est la probabilité d'apparition de cette somme ?