1) Le nombre pi (introduction à la trigonométrie)

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Pour commencer, un petit rappel sur les ensembles de nombres NZDQR

Nous connaissons 5 ensembles de nombres :

N est l'ensemble des nombres entiers naturels N = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; ...}

3 est un nombre entier naturel

Un nombre entier naturel est un nombre entier positif

Z est l'ensemble des nombres entiers relatifs relatif veut dire : positif ou négatif Z = { ... ; -5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ...}

3 est un nombre entier relatif
-5 est un nombre entier relatif

Un nombre entier relatif est un nombre entier

D est l'ensemble des nombres décimaux (relatifs) Un nombre décimal est le quotient d'un entier par une puissance entière naturelle de 10 (10⁰, 10¹, 10², 10³, etc...)

3 = 3 / 10⁰ = 3 / 1 est un nombre décimal
-5 = -5 / 10⁰ = -5 / 1 est un nombre décimal

-12,51 = -12,51 / 10² = -1251 / 100 est un nombre décimal
2,957 = 2957 / 10³ = 2957 / 1000 est un nombre décimal

Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule
Un nombre décimal peut s'écrire comme un nombre "qui se termine"

Q est l'ensemble des nombres rationnels (relatifs) Un nombre rationnel est le quotient de 2 nombres entiers

3 = 3 / 10⁰ = 3 / 1 est un nombre rationnel
-5 = -5 / 10⁰ = -5 / 1 est un nombre rationnel

-12,51 = -12,51 / 10² = -1251 / 100 est un nombre rationnel
2,957 = 2957 / 10³ = 2957 / 1000 est un nombre rationnel

1/3 = 0,333333333333333333333... est un nombre rationnel
-5/7 = 0,714285 714285 714285 714285 714285... est un nombre rationnel

Un nombre rationnel est un nombre décimal ou un nombre qui a des décimales infinies et périodiques

R est l'ensemble des nombres réels R est l'ensemble de tous les nombres qui existent

3 = 3 / 10⁰ = 3 / 1 est un nombre réel
-5 = -5 / 10⁰ = -5 / 1 est un nombre réel

-12,51 = -12,51 / 10² = -1251 / 100 est un nombre réel
2,957 = 2957 / 10³ = 2957 / 1000 est un nombre réel


1/3 = 0,333333333333333333333... est un nombre réel
-5/7 = 0,714285 714285 714285 714285 714285... est un nombre réel

√2 = 1,41421356237309... est un nombre réel
1 - √3 = -0.73205080756887... est un nombre réel
π = 3,14159265358979... est un nombre réel
-π/2 = -1.57079632679489 ... est un nombre réel

√2, √3 et π ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'un quotient de 2 entiers
Ces nombres ont des décimales infinies, mais non périodiques ( voir ICI)
Ce sont des nombres irrationnels

R est l'ensemble des nombres rationnels et irrationnels
Les nombres irrationnels sont infiniment plus nombreux que les nombres rationnels

Déplacer le curseur dans le fichier suivant



Les ensembles N ,Z ,D ,Q et R sont inclus les uns dans les autres

[Tit]

Si vous avez du mal à retenir l'ordre ou les lettres des ensembles de nombres voilà un petit moyen mnémotechnique :

NeZ Du QRé (Nez du curé)

N Entiers naturels
Z Entiers relatifs
D Nombres décimaux
Q Rationnels
R Réels

En espérant que ça vous aidera

[jumera]

Pour aller plus loin...

N, Z, D, Q et R sont des ensembles infinis : ils ont tous une infinité d'éléments
Y a-t-il des infinis "plus grands" que d'autres..?

Voir ce sujet >> ICI <<

[jumera]

Pour ranger les nombres par ordre croissant,
on représente les ensembles N, Z, D, Q et R sur une droite graduée







Un nombre est alors l'abscisse d'un point de cette droite

[jumera]

Le fichier suivant montre comment placer sur une droite graduée des points
qui ont pour abscisse : un entier, un décimal, une fraction, une racine carrée
> Cliquer sur les boutons flèches



Pour placer π (ou des fractions de π), la droite graduée n'est pas adaptée...
Un cercle gradué de rayon 1 est plus adapté, car la longueur d'un cercle de rayon 1 est 2 π r = 2 π 1 = 2 π
π est la longueur d'un demi-cercle de rayon 1

Dans un repère orthonormé ( O; I; J ), nous prendrons le cercle trigonométrique
C'est le cercle de centre O et de rayon 1
et nous prendrons le point I pour graduation 0

Un point M de ce cercle aura donc une abscisse qui correspond à un arc de cercle IM
M a une abscisse curviligne

Dans le fichier suivant, sont représentés les nombres positifs et négatifs multiples de π / 2
Le cercle entier a pour longueur 2π = 4π / 2
> Cliquer sur le bouton, puis cocher les cases
Bouger le curseur avec les flèches du clavier


Remarque : un cercle étant une ligne fermée,
un point du cercle représente plusieurs nombres ! (et même une infinité..!)
Ainsi -3π/ 2, 5π / 2 et π / 2 sont représentés par le même point du cercle...