Un nombre plus grand que l'infini ?!

[AYNA]

Bonsoir !

Je suis tombé totalement par hasard sur une vidéo sur YouTube dans la semaine
Celle-ci dit qu'il y aurait "des infinis plus grand que d'autres" !

Voici la vidéo en question : https://www.youtube.com/watch?v=KQcerrA875E


Vous pensez vraiment que ce qui est dit dans la vidéo est vrai ?

Et la conclusion qu'il tire à 6:25, est-elle vraiment possible ?

[jumera]

Bonsoir AYNA, et bienvenue sur le forum

"un nombre plus grand que l'infini" non
"un infini plus grand qu'un autre infini..?" oui

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C'est sûr que les ensembles N et R sont tous les deux... infinis
C'est-à-dire qu'ils ont tous les deux une infinité d'éléments
card(N) = ∞ et card(R) = ∞
(le cardinal d'un ensemble est son nombre d'éléments)

Qu'est-ce qui différencie ces 2 ensembles infinis..?

N est un ensemble infini dénombrable
C'est-à-dire qu'on peut compter ses éléments
0, 1, 2, 3, etc...
(bien sûr, on n'arrivera jamais au bout... car N est un ensemble infini... mais on peut les compter sans en oublier)

R est un ensemble infini non dénombrable
C'est-à-dire qu'on ne peut pas compter ses éléments
On en oublie toujours, la vidéo l'explique bien...
(L'explication donnée à la fin de la vidéo s'appelle : la diagonale de Cantor
Cantor est un mathématicien allemand de la fin du XIXe siècle)

• N et R sont tous les deux des ensembles infinis • N est un ensemble infini dénombrable • R est un ensemble infini non dénombrable Il n'y a pas UN infini, mais des nombres infinis, qui se comparent card(N) = ∞ et card(R) = ∞ mais card(N) < card(R)

Donc, c'est vrai... il y a des infinis plus "grands" que d'autres

A ton avis, est-ce que Z, D et Q sont des ensembles infinis dénombrables..?
(Voir le premier message de ce sujet)

[jumera]

Réponse à la question précédente...
Les ensembles Z, D et Q sont-ils dénombrables ? c'est-à dire : peut-on compter leurs éléments ?
(Mathématiquement, existe-il une bijection entre N et Z(ou D ou Q) ?)

La réponse est... oui..!

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On peut compter les éléments de Z très facilement
en alternant les positifs et les négatifs
0 , 1 , -1 , 2 , -2 , 3 , -3 , 4 , -4 etc

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Q est l'ensemble des fractions a/b, a et b étant 2 entiers

On peut alors écrire toutes les fractions positives dans un tableau à double entrée

Et alors, on peut compter les éléments de Q
par exemple comme ceci :
0/1 , (0/2) , 1/1 , 2/1 , 1/2 , (0/3) , (0/4) , 1/3 , (2/2) , 3/1 , 4/1 , 3/2 , 2/3 , 1/4 , (0/5) , (0/6) etc...
(on ne compte pas les éléments déjà comptés (ex : 2/2 = 1/1)
et pour compter les négatifs, on alterne comme pour Z)


On peut aussi représenter les fractions a/b par un point de coordonnées entières (a ; b) dans un repère
et compter les rationnels avec cette spirale
(en ne comptant pas les points sur l'axe des ordonnées (fractions à dénominateur nul), ni les points de fractions déjà comptées)

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D étant l'ensemble des fractions a/10^n, on compte les décimaux de la même façon :
en prenant comme dénominateurs 1, 10, 100, 1000 etc...

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Les ensembles N, Z, D et Q sont dénombrables L'ensemble R n'est pas dénombrable R est formé de nombres rationnels (appartenant à Q) et de nombres irrationnels Les nombres irrationnels sont infiniment plus nombreux que les nombres rationnels

[jumera]

Il n'y a pas "plus grand" que l'infini, mais il y a différents nombres infinis...
Ces nombres infinis sont appelés transfinis

Les mathématiciens notent :
• ℵ₀ (aleph 0) : le cardinal infini des ensembles N, Z, D et Q
• ℵ₁ (aleph 1) : le cardinal infini de l'ensemble R

card(N) = card(Z) = card(D) = card(Q) = ℵ₀ card(R) = ℵ₁ ℵ₀ < ℵ₁

aleph est la première lettre de l'alphabet hébreu : א

[jumera]

Si on représente les nombres entiers sur une droite graduée
on obtient des "points" avec des "trous" entre ces points

Si on représente les nombres décimaux (ou rationnels) sur une droite graduée
on obtient aussi des "points" avec des "trous" entre ces points

Si on représente les nombres réels sur une droite graduée
on obtient une droite continue, sans "trous"

N, Z, D et Q sont des ensembles discrets

R est un ensemble continu


On peut se représenter cette différence :
• sur les routes, une ligne blanche pointillée et une ligne blanche continue
• la pluie... et la mer
• les étoiles dans le ciel... c'est discret...

> la notion de continuité existe aussi
quand on étudie les fonctions de la variable réelle x

Une fonction, dont la variable est entière, décimale ou rationnelle, est représentée par un nuage de points

les fonctions étudiées au lycée, dont la variable est réelle, sont représentées par des courbes continues (ou plusieurs morceaux de courbes continues)


> on étudie aussi, en statistiques, des variables aléatoires continues
lorsque les valeurs prises par la variable aléatoire sont des réels

La loi binomiale est une variable aléatoire discrète
la loi normale est une variable aléatoire continue
Voir >> ici <<