TP5 : Les suites avec les boucles Tant Que (While)

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Reprenons l'exemple d'un capital de 1000€ placé à intérêts composés au taux annuel de 4% On aimerait savoir au bout de combien d'années le capital acquis dépassera le seuil de 2000€

Mathématiquement, les capitaux annuels sont les termes
de la suite géométrique U de premier terme 1000 et de raison 1,04
La suite U est définie par U(0) = 1000 et U(n+1) = 1,04 x U(n)

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Si nous devions faire cela "à la main", il faudrait faire :

On part de U(0) = 1000

On calcule U(1) = U(0) x 1,04
Si U(1) ≥ 2000 alors on arrête, sinon on continue
On calcule U(2) = U(1) x 1,04
Si U(2) ≥ 2000 alors on arrête, sinon on continue
On calcule U(3) = U(2) x 1,04
Si U(3) ≥ 2000 alors on arrête, sinon on continue
Etc...

Pour éviter le "etc...", on pourrait écrire :

On part de U(0)
Tant que U < 2000, on calcule le terme suivant

Vous me direz que cela risque d'être un petit peu... long

Mais nous avons des calculatrices, ou mieux des ordinateurs
qui sont capables de faire des millions de calculs par seconde
et bien on va les faire bosser à notre place

Nous allons écrire un algorithme
et le faire exécuter par l'ordinateur

Les ordinateurs sont capables de comprendre et d'exécuter des instructions répétitives
On appelle ces instructions répétitives des boucles

Nous allons ici utiliser une boucle TantQue

Nous allons utiliser 2 variables :
• La variable N dans laquelle sera stocké le rang
• La variable U dans laquelle sera stocké le terme de rang N

Voici l'algorithme et le programme Python correspondant

Algorithme	Programme Python
N ⟵0 U ⟵1000 Tantque U < 2000 N ⟵ N + 1 U ⟵ 1,04 x U Fin TantQue Afficher N	N = 0 U = 1000 while U < 2000 : N = N + 1 U = 1.04*U print (N)

Explications :

On rappelle que ⟵ se lit "prend la valeur"

Supposons que la variable N contient 0
En écrivant N ⟵ N + 1, la variable N contient 1

Supposons que la variable U contient 1000
En écrivant U ⟵ 1,04 x U, la variable U contient 1040


Ecrire une fonction Python, et répondre à la question posée

Au bout de combien d'années aura-t-on un capital de 3000€ ? de 4000€ ? de 5000€ ? de 10000€ ?

Reprendre les mêmes questions si on rajoute 50€ tous les ans...

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En 2018, Laurence, souhaitant se lancer dans l’agriculture biologique, a acheté une ferme de 14 hectares de pommiers
Elle estime qu’il y a 300 pommiers par hectare

Chaque année, Laurence élimine 4 % des pommiers existants et replantera 22 nouveaux pommiers par hectare

Pour tout entier naturel n, on note U le nombre de pommiers par hectare l’année 2018+n. On a ainsi U(0) = 300

Laurence veut savoir à partir de quelle année la densité de pommiers dépassera 400 pommiers par hectare

A vous de répondre à la question
en écrivant une fonction Python

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: cliquer ici >>(Voir)

Pour voir si notre algorithme est correct,
on va le traduire en un programme Python
et l'exécuter

Ouvrir EduPython (dans le dossier Mathématiques sur le bureau)
Recopier le programme Python dans la fenêtre d'édition

Exécuter le programme (bouton "Run" avec une flèche verte)

Modifier le programme en mettant le "print" à l'intérieur de la boucle


Modifier le programme en améliorant l'affichage