GeoGebra / Première : Rectangle d'aire maximale

[jumera]

Bonjour

Voici un petit problème… avec 10 questions ( les questions sont précédées de la flèche rouge )
Vous répondrez aux questions sur votre cahier d'exercices

Soit un triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 6 cm et AC = 8 cm
A tout point M du segment [BC],
on fait correspondre le point P du segment [AB] et le point Q du segment [AC] tels que APMQ soit un rectangle



Dans la figure ci-dessus, déplacer le point M

1) Où faut-il placer le point M sur le segment [BC] pour que l'aire du rectangle APMQ soit maximale ?

2) Quelle est la valeur de l'aire maximale du rectangle APMQ ?

3) Quelles sont les dimensions (largeur et longueur) du rectangle APMQ d'aire maximale ?

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1) Création de la figure avec GeoGebra

Cacher les axes
Créer le triangle ABC avec l'outil Polygone (1 carreau = 1cm)
(pour renommer un point, clic droit sur le point)
Créer un point M sur le segment [BC]
Créer les points P et Q en utilisant les outils Droite perpendiculaire et Intersection entre 2 objets
Cacher les droites puis créer le polygone APMQ

Quand la figure est finie, déplacer le point M pour voir si APMQ reste bien un rectangle
sinon recommencer !!!

Afficher l'aire du rectangle APMQ (Il y a un outil pour cela...)
Créer le segment [BM] puis afficher sa longueur

Lire les réponses aux 3 questions posées
(Pour la question 1), donner la longueur de BM correspondant à la position de M cherchée)

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Appelons x la longueur BM
Quand x varie, l'aire du rectangle change
On peut dire que l'aire du rectangle est fonction de x

On a donc une fonction f qui à toute valeur de x, associe la valeur de l'aire du rectangle

Nous allons demander à GeoGebra de tracer la courbe représentative de la fonction f

Faire apparaître le repère
"attraper" la figure avec la souris (mettre le curseur dans le triangle BPM) pour la placer "à gauche de l'axe des ordonnées"
et laisser la place "à droite de l'axe des ordonnées" pour la courbe...

La courbe représentative d'une fonction f est l'ensemble des points de coordonnées ( x ; f(x) )

Créer le point N de coordonnées ( x ; f(x) ) dans la saisie (en remplaçant x et f(x) par les noms que leur a donné GeoGebra)
Attention à la syntaxe : Geogebra traduit, par exemple A( 1 ; 2 ), par A=(1,2)

Déplacer le point M
Le point N se déplace sur la courbe représentative de la fonction f

Afficher la trace de N (clic droit sur N) et déplacer le point M
La courbe représentative de la fonction f se construit point par point

Quelle semble être la forme de la courbe ?

(Autre méthode :
Effacer les traces des points (Astuce: un petit coup de roulette…)
Un ensemble de points s'appelle un lieu géométrique
Avec l'outil "Lieu", créer le lieu de N quand M varie

Déplacer le point M sur la position cherchée de l'exercice
Où est alors situé le point N sur la courbe ?

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2) Démonstration des réponses données par GeoGebra

Il faut, bien sûr, prouver par le calcul les valeurs lues avec GeoGebra...

Faire la figure (sur le cahier d'exercice)

A quel intervalle I doit appartenir x ?

Déterminer (à l’aide de Thalès) la largeur du rectangle APMQ en fonction de x

Déterminer (encore avec Thalès) la longueur du rectangle APMQ en fonction de x

En déduire l’aire f(x) du rectangle APMQ en fonction de x

Vérifier que f(x) = - 0,48 (x - 5)² + 12

En déduire la valeur de x, puis calculer l'aire maximale, ainsi que les dimensions du rectangle