Optimisation d'un réseau sous contraintes

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Un réseau routier est formé de routes, et de carrefours où se rejoignent les routes

Un réseau électrique est formé de cables (dans lesquels circulent des courants électriques) et de "noeuds" (postes de transformation où se rejoignent les cables)

Voici le schéma d'un réseau électrique très simple avec :
• 2 sources d'électricité S₁ et S₂
• 1 noeud N
• 2 cibles C₁ et C₂ (qui correspondent aux consommateurs qui vont utiliser l'électricité produite et acheminée jusqu'à chez eux)



Les contraintes du réseau sont les suivantes :

1) Les cibles (consommateurs) doivent recevoir une intensité du courant I3 et I4 fixe 2) La loi des noeuds impose que I1 + I2 = I3 + I4 (Exemple : Si I3 = 13 A et I4 = 65 A, alors on a : I1 + I2 = 78 A) 3) Les sources ne peuvent pas générer n'importe quelle intensité de courant : il y a des intensités maximales, appelées seuils et notées s1 et s2 Ainsi I1 < s1 et I2 < s2

Dans la première partie du TP, nous considérons les contraintes 1) et 2) seulement

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Quelles doivent être les valeurs des intensités du courant I₁ et I₂ pour que la puissance totale dissipée par effet Joule dans ce réseau soit minimale ?

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En physique, la puissance dissipée par effet Joule dans un cable de résistance R traversé par un courant I est égale à P_J = R I²

P_J,total = P_J,S1N + P_J,S2N + P_J,NC1 + P_J,NC2
P_J,total = R₁ I₁² + R₂ I₂² + R₃ I₃² + R₄ I₄²
P_J,total = R₁ I₁² + R₂( I₃ + I₄ - I₁)² + R₃ I₃² + R₄ I₄²

En effet I₁ + I₂ = I₃ + I₄ donc I₂ = I₃ + I₄ - I₁

Les résistances des cables R₁, R₂, R₃ et R₄ ainsi que les intensités des courant I₃ et I₄
ont des valeurs fixes

P_J,total ne dépend donc que de I₁
P_J,total est fonction de I₁
P_J,total = R₁ I₁² + R₂( I₃ + I₄ - I₁)² + R₃ I₃² + R₄ I₄²

Le problème revient donc à chercher le minimum de la fonction f définie par : f(x) = R1 x² + R2( I3 + I4 - x)² + R3 I3² + R4 I4²

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Ouvrir GeoGebra
Créer 2 curseurs I₃ et I₄ à valeurs positives
(avec GeoGebra, I₃ s'écrit I_3)
Régler les curseurs I₃ = 13A et I₄ = 65A
Créer 4 curseurs R₁, R₂, R₃ et R₄ à valeurs positives
Régler les curseurs R₁ = 0.6Ω, R₂ = 0.8Ω, R₃ = 1Ω et R₄ = 1Ω

Créer la fonction f, en écrivant sa formule dans la saisie

Observer la courbe

C'est le sommet de la parabole qui nous intéresse
Ecrire dans la saisie Extremum(f)
La valeur de I₁ cherchée est l'abscisse du point A créé
Clic droit sur A -> Propriétés -> Basique : Etiquette : Valeur

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Grâce à ce fichier, on peut modifier les valeurs de I₃ et I₄, ainsi que les valeurs des 4 résistances

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On tient compte maintenant de la contrainte 3)
I₁ ⩽ s₁
I₂ ⩽ s₂

Nous avons vu que la loi des noeuds impose que I₁ + I₂ = I₃ + I₄
c'est-à-dire I₂ = I₃ + I₄ - I₁

I₂ ⩽ s₂
I₃ + I₄ - I₁ ⩽ s₂
I₃ + I₄ - s₂ ⩽ I₁
I₁ ⩾ I₃ + I₄ - s₂

On a donc
I₁ ⩽ s₁
et
I₁ ⩾ I₃ + I₄ - s₂

C'est-à-dire que
I₃ + I₄ - s₂ ⩽ I₁ ⩽ s₁
ou bien (en posant I_1min = I₃ + I₄ - s₂ et I_1max = s₁)
I_1min ⩽ I₁ ⩽ I_1max

A cause de la loi des noeuds, l'intensité I₁ varie donc entre 2 valeurs I_1min et I_1max

Exemple : si I₂ ne peut pas dépasser 70 A, et que I₁ + I₂ = 78 A
alors I₁ ne pourra pas être inférieur à 8 A

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Il faut donc tracer la courbe de la fonction f sur l'intervalle [ I_1min ; I_1max ]
On va donc créer une autre fonction g, restriction de la fonction f à cet intervalle

Créer 2 curseurs s₁ et s₂ à valeurs positives
On pourra ainsi fixer les seuils d'intensités maximales de I₁ et I₂ avec différentes valeurs

Créer les bornes I_1min et I_1max, en écrivant dans la saisie :
I_1min = I₃ + I₄ - s₂
I_1max = s₁

Créer la fonction g, en écrivant dans la saisie :
g(x) = f(x) , I_1min <= x <= I_1max
(colorer la courbe de g en rouge...)

Bouger les curseurs s₁ et s₂
La valeur de I₁ cherchée est-elle toujours l'abscisse du sommet de la parabole ?