Optimisation d'un réseau sous contraintes
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28-08-2020, 05:11 PM
Message : #1
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Optimisation d'un réseau sous contraintes
Un réseau routier est formé de routes, et de carrefours où se rejoignent les routes
Un réseau électrique est formé de cables (dans lesquels circulent des courants électriques) et de "noeuds" (postes de transformation où se rejoignent les cables) Voici le schéma d'un réseau électrique très simple avec : • 2 sources d'électricité S1 et S2 • 1 noeud N • 2 cibles C1 et C2 (qui correspondent aux consommateurs qui vont utiliser l'électricité produite et acheminée jusqu'à chez eux) Les contraintes du réseau sont les suivantes :
Dans la première partie du TP, nous considérons les contraintes 1) et 2) seulement Quelles doivent être les valeurs des intensités du courant I1 et I2 pour que la puissance totale dissipée par effet Joule dans ce réseau soit minimale ? En physique, la puissance dissipée par effet Joule dans un cable de résistance R traversé par un courant I est égale à PJ = R I² PJ,total = PJ,S1N + PJ,S2N + PJ,NC1 + PJ,NC2 PJ,total = R1 I1² + R2 I2² + R3 I3² + R4 I4² PJ,total = R1 I1² + R2( I3 + I4 - I1)² + R3 I3² + R4 I4² En effet I1 + I2 = I3 + I4 donc I2 = I3 + I4 - I1 Les résistances des cables R1, R2, R3 et R4 ainsi que les intensités des courant I3 et I4 ont des valeurs fixes PJ,total ne dépend donc que de I1 PJ,total est fonction de I1 PJ,total = R1 I1² + R2( I3 + I4 - I1)² + R3 I3² + R4 I4²
Ouvrir GeoGebra Créer 2 curseurs I3 et I4 à valeurs positives (avec GeoGebra, I3 s'écrit I_3) Régler les curseurs I3 = 13A et I4 = 65A Créer 4 curseurs R1, R2, R3 et R4 à valeurs positives Régler les curseurs R1 = 0.6Ω, R2 = 0.8Ω, R3 = 1Ω et R4 = 1Ω Créer la fonction f, en écrivant sa formule dans la saisie Observer la courbe C'est le sommet de la parabole qui nous intéresse Ecrire dans la saisie Extremum(f) La valeur de I1 cherchée est l'abscisse du point A créé Clic droit sur A -> Propriétés -> Basique : Etiquette : Valeur Grâce à ce fichier, on peut modifier les valeurs de I3 et I4, ainsi que les valeurs des 4 résistances |
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29-08-2020, 02:29 PM
Message : #2
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Optimisation d'un réseau sous contraintes
On tient compte maintenant de la contrainte 3)
I1 ⩽ s1 I2 ⩽ s2 Nous avons vu que la loi des noeuds impose que I1 + I2 = I3 + I4 c'est-à-dire I2 = I3 + I4 - I1 I2 ⩽ s2 I3 + I4 - I1 ⩽ s2 I3 + I4 - s2 ⩽ I1 I1 ⩾ I3 + I4 - s2 On a donc I1 ⩽ s1 et I1 ⩾ I3 + I4 - s2 C'est-à-dire que I3 + I4 - s2 ⩽ I1 ⩽ s1 ou bien (en posant I1min = I3 + I4 - s2 et I1max = s1) I1min ⩽ I1 ⩽ I1max A cause de la loi des noeuds, l'intensité I1 varie donc entre 2 valeurs I1min et I1max Exemple : si I2 ne peut pas dépasser 70 A, et que I1 + I2 = 78 A alors I1 ne pourra pas être inférieur à 8 A Il faut donc tracer la courbe de la fonction f sur l'intervalle [ I1min ; I1max ] On va donc créer une autre fonction g, restriction de la fonction f à cet intervalle Créer 2 curseurs s1 et s2 à valeurs positives On pourra ainsi fixer les seuils d'intensités maximales de I1 et I2 avec différentes valeurs Créer les bornes I1min et I1max, en écrivant dans la saisie : I1min = I3 + I4 - s2 I1max = s1 Créer la fonction g, en écrivant dans la saisie : g(x) = f(x) , I1min <= x <= I1max (colorer la courbe de g en rouge...) Bouger les curseurs s1 et s2 La valeur de I1 cherchée est-elle toujours l'abscisse du sommet de la parabole ? |
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