Approximation de e

[jumera]

Ce TP explique comment trouver une approximation du nombre e Un autre nombre bien connu se trouve aussi par approximation : le nombre π (voir >> ICI <<)

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Le nombre e est l'image de 1 par la fonction exponentielle exp
e = exp(1)


Au voisinage d'un point d'une courbe, la tangente est très "proche" de la courbe
Dans le fichier suivant : Zoomer sur la figure de droite pour observer que la courbe et la tangente sont si proches qu'on pourrait les confondre
(on peut aussi déplacer le point A sur la figure de gauche)



Plus on est "près" du point, plus l'approximation est bonne
Dans le dessin suivant, les points C1 et C2 sont sur la courbe et les points T1 et T2 sont sur la tangente
C1 et T1 sont beaucoup plus proches que C2 et T2

[jumera]

Considérons la tangente à la courbe de f au point A d'abscisse a
le point C de la courbe d'abscisse a+h
et le point T de la tangente d'abscisse a+h


On peut calculer l'ordonnée du point T de la tangente d'abscisse a+h grâce à l'équation de la tangente y = f'(a) (x - a) + f(a)

T est un point de cette tangente, donc ses coordonnées vérifient cette équation
y_T = f'(a) (x_T - a) + f(a)
y_T = f'(a) h + f(a)

Comme f est la fonction exponentielle, on a f'(a)=f(a)
y_T = f(a) h + f(a)
y_T = f(a) (h + 1) en mettant f(a) en facteur
y_T = f(a) (1 + h)

Les points C et T étant très proches, on peut approcher l'ordonnée du point C par l'ordonnée du point T On a donc f(a+h) ≈ f(a) (1+h)

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Si on partage l'intervalle [0 ; 1] en n parts égales, alors on va prendre h = 1/n
On a donc f(a+1/n) ≈ f(a) (1+1/n)

On va approcher la courbe de exp par des morceaux de tangentes
L'ordonnée du dernier point obtenu sera une approximation de e


Approximations successives de e

Bouger le curseur n dans le fichier suivant (avec la souris ou pas-à-pas avec les flèches du clavier)
tout en lisant les explications après le fichier

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n = 1 : h = 1/1
Le point T₀ a pour ordonnée f(0) = 1

Le point T₁ est sur la tangente au point T₀
L'abscisse du point T₁ est 1. Son ordonnée est f(1)
f(1)= f(0+1) ≈ f(0) (1 + 1) = 1 + 1 = (1 + 1/1)¹ = 2

A l'étape 1, l'approximation de e est (1 + 1/1)¹ = 2

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n = 2 : h = 1/2
Le point T₀ a pour ordonnée f(0) = 1

Le point T₁ est sur la tangente au point T₀
L'abscisse du point T₁ est 1/2. Son ordonnée est f(1/2)
f(1/2) = f(0 +1/2) ≈ f(0) (1 + 1/2) = (1 + 1/2)

Le point T₂ est sur la tangente au point T₁
L'abscisse du point T₂ est 1. Son ordonnée est f(1)
f(1) = f(1/2 +1/2) ≈ f(1/2) (1 + 1/2)
Mais comme f(1/2) ≈ (1 + 1/2), on a :
f(1) ≈ (1 + 1/2) (1 + 1/2) = (1 + 1/2)² = 1,5² = 2,25

A l'étape 2, l'approximation de e est (1 + 1/2)² = 2,25

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n = 3 : h = 1/3
Le point T₀ a pour ordonnée f(0) = 1

Le point T₁ est sur la tangente au point T₀
L'abscisse du point T₁ est 1/3. Son ordonnée est f(1/3)
f(1/3) = f(0 + 1/3) ≈ f(0) (1 + 1/3) = (1 + 1/3)

Le point T₂ est sur la tangente au point T₁
L'abscisse du point T₂ est 2/3. Son ordonnée est f(2/3)
f(2/3) = f(1/3 + 1/3) ≈ f(1/3) (1 + 1/3)
Mais comme f(1/3) ≈ (1 + 1/3), on a :
f(2/3) ≈ (1 + 1/3) (1 + 1/3) = (1 + 1/3)²

Le point T₃ est sur la tangente au point T₂
L'abscisse du point T₃ est 1. Son ordonnée est f(1)
f(1) = f(2/3 + 1/3) ≈ f(2/3) (1 + 1/3)
Mais comme f(2/3) ≈ (1 + 1/3)²
= (1 + 1/3)² (1 + 1/3) = (1 + 1/3)³

A l'étape 3, l'approximation de e est (1 + 1/3)³ = 2,37...

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Cas général n : h = 1/n
f(0) = 1
f(1/n) = (1 + 1/n)¹
f(2/n) = (1 + 1/n)²
f(3/n) = (1 + 1/n)³
…
f(n/n) = f(1) = (1 + 1/n)ⁿ
A l'étape n, l'approximation de e est (1 + 1/n)ⁿ

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Les approximations successives de e sont :
n = 1 : e ≈ (1 + 1/1)¹ = 2
n = 2 : e ≈ (1 + 1/2)² = 2,25
n = 3 : e ≈ (1 + 1/3)³ = 2,37...
Et ainsi de suite...

Plus n augmente, plus l'approximation de e est précise
Dans le fichier suivant, n va jusqu'à 200


Quand n devient très grand, on voit apparaître la courbe de la fonction exp sur l'intervalle [0 ; 1]
Il faut aller jusqu'à n = 4095 pour obtenir l'approximation que l'on apprend

e ≈ 2,718

Remarque : la vitesse d'animation de n est... exponentielle..!

Remarque : e comme π est un nombre irrationnel

[jumera]

Le nombre e est donc la limite de la suite (Un) définie sur N* par Un = (1 + 1/n) n

Nous avons appris à voir les premiers termes d'une suite
• avec un tableur
• avec Python

A vous de jouer...