Approximation de pi : la méthode d'Archimède

[jumera]

La méthode d'Archimède permet de trouver les décimales de π en encadrant π par des longueurs de polygones réguliers inscrits et circonscrits à un cercle de rayon 0,5 car π est le périmètre d'un cercle de rayon égal à 0,5 (en effet 2πR=2πx0,5=π)

1) On construit des polygones réguliers de n côtés
inscrits dans le cercle

Le périmètre P₁ du polygone régulier bleu peut se calculer
Il est égal à P₁ = nxsin(180°/n)

Dans les fichiers suivants :
sélectionner le curseur et déplacer-le avec les flèches du clavier...


Plus n augmente, plus le périmètre du polygone inscrit se rapproche du périmètre du cercle
Plus n augmente, plus P₁ se rapproche de π (avec P₁ < π)

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2) On construit des polygones réguliers de n côtés
circonscrits au cercle

Le périmètre P₂ du polygone régulier bleu peut se calculer
Il est égal à P₂ = nxtan(180°/n)


Plus n augmente, plus le périmètre du polygone circonscrit se rapproche du périmètre du cercle
Plus n augmente, plus P₂ se rapproche de π (avec P₂ > π)

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3) Encadrement de π


Plus n augmente, plus le périmètre des polygones inscrits et circonscrits se rapprochent du périmètre du cercle
Plus n augmente, plus P₁et P₂ se rapprochent de π (avec P₁ < π < P₂)
et plus l'encadrement est précis

Remarque
Cette méthode converge lentement...
avec n = 57, on trouve les 2 premières décimales de π : 3,14
avec n = 5000, on trouve les 5 premières décimales de π : 3,14159

Avec des ordinateurs puissants, on peut trouver beaucoup de décimales
A la coupole de la cité des sciences (au palais de la découverte à Paris), sont écrites les 704 premières décimales de π

: Une autre façon de voir : clic -->(Voir)

Il existe une autre façon d'approximer π : avec les aires
Voici l'approximation de π avec les polygones inscrits

(la formule est plus "compliquée" qu'avec les périmètres...
on peut toujours "chercher" la formule pour les polygones circonscrits...)

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n est le nombre de côtés du polygone bleu

Le rayon R du cercle est égal à 1
L'aire du disque est égale à πR²=π

L'aire du polygone régulier bleu peut se calculer
Montrer qu'elle est égale à nxcos(180°/n)xsin(180°/n)


Plus n augmente, plus l'aire du polygone se rapproche de l'aire du disque
Plus n augmente, plus l'aire du polygone se rapproche de π