Terminale / La méthode d'Euler

[jumera]

I) Fonctions et dérivées

La dérivée d'une fonction est unique
Mais plusieurs fonctions peuvent avoir la même dérivée

Les fonctions f définies par f(x)=
x³, x³ + 1, x³ - 3, x³ + k (k est un réel)
ont toutes la même dérivée f ' définie par f '(x) = 3x²

Créer un curseur k
Créer (avec la saisie) la courbe de f définie par f(x) = x³ + k
Créer la fonction g définie par g(x)=f '(x)
Modifier la valeur de k.

Comment trouver la formule de la fonction f dont la courbe passe par le point A( -1 ; 1 ) ?
Facile...
f(x) = x³ + k
f(-1) = 1 donc (-1)³ + k = 1 donc k = 2 et f(x) = x³ + 2

Vérifier avec GeoGebra


II) La méthode d'Euler

La méthode d'Euler permet de tracer une approximation de la courbe représentative d'une fonction f connaissant :
• Un point A de la courbe représentative de f
• La dérivée g (=f ') de la fonction f

A quoi cela peut bien servir ?
Si, par exemple, on nous donne un point A et g(x) = 3x² , on sait trouver la formule de f

Certes... mais si g(x) = 1/x, connaît-on une fonction f qui a pour dérivée g(x) = 1/x
Non, n'est-ce pas..?

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Prenons A ( -1 ; 1 ) c'est-à-dire f(-1) = 1 et g(x) = 3x²

Graphiquement, si nos souvenirs sont bons (...), le nombre dérivé est le cœfficient directeur de la tangente à la courbe

On peut donc tracer la tangente (à la courbe de f) au point A (d'abscisse -1)
Son cœfficient directeur est 3 car f '(-1) = 3 (ou g(-1) = 3 car on a posé g = f ')

(Son équation est : y = f '(a) ( x - a ) + f(a) = g(a) ( x - a ) + f(a)
C'est-à-dire : y = g(-1) ( x - (-1) ) + f(-1)
C'est-à-dire : y = 3 ( x + 1 ) + 1 car la courbe de f passe par A
Soit : y = 3x + 4)

Rappelons nous maintenant, qu'au voisinage du point A, la courbe et la tangente sont presque confondues

Donc, si on prend B un point proche de A sur la tangente (d'abscisse x_A + h où h est un réel très petit, ce point B sera très proche du point M de la courbe de f de même abscisse


On peut donc approcher l'arc de courbe AM par le segment [AB]


Ensuite, il ne reste plus qu'à recommencer la "manip" en remplaçant A par B
en traçant la tangente à la courbe au point B
et en créant un point C (d'abscisse x_B + h) sur cette tangente

et... ainsi de suite

Voilà ce qu'on obtient, avec des valeurs de h de plus en plus petites :





Plus h devient petit, plus la courbe obtenue (qui n'est en fait qu'une ligne brisée formée de segments consécutifs...)
se rapproche de la courbe de la fonction f (d'équation y = x³ + 2)

III) Réalisation du fichier avec le Tableur de GeoGebra

Maintenant que la méthode est comprise, il reste à créer le fichier
avec le tableur de GeoGebra