Nombre dérivé : limite du taux de variation

[jumera]

Soit f une fonction définie sur un intervalle I Soit A le point de la courbe représentative de f d’abscisse a ( a ∈ I ) Parmi toutes les droites passant par A , l’une est la tangente à la courbe en A On sait calculer le coefficient directeur d’une droite, quand on connaît 2 points de la droite Mais ici, on ne connaît qu’un seul point A . Comment faire ?

Formulation 1

f(x) = x²
I = [0 ; 3,6 ]
1) Choisir le point A sur la courbe avec le curseur
2) Cliquer sur la case du haut, déplacer le point M sur la courbe avec le curseur et observer...
3) Recommencer en cliquant sur la deuxième case
4) La dernière case montre la limite...

Pour changer de point A, décocher les cases

On peut définir le coefficient directeur de la tangente en A comme étant la limite des valeurs des coefficients directeurs des sécantes (AM) quand M se rapproche de A

[jumera]

Formulation 2

f(x) = x²
I = [0 ; 3,6 ]

1) Choisir le point A sur la courbe avec le curseur
2) Cliquer sur la case du haut, déplacer le point M sur la courbe avec le curseur et observer...
3) Recommencer en cliquant sur la deuxième case
4) La dernière case montre la limite...

Pour changer de point A, décocher les cases

[jumera]

Lâchant ma craie d’une hauteur de 1,22625 mètres, quelle est sa vitesse en arrivant au sol ?

Les lois de la physique disent que tout objet lâché sans vitesse initiale tombe sous l’effet de la pesanteur
et qu’il parcourt à partir de l’instant zéro une distance d proportionnelle au carré du temps t,
soit : d = 0,5 g t² (d en mètres, t en secondes, g = 9,81 m.s^-1 est l’accélération de la pesanteur)
Si d = 1,22625 m, on a : 1,22625 = 0,5 g t² c'est-à-dire t = 0,5 s
Il s'agit donc de trouver la vitesse de ma craie à l'instant t = 0,5 s

Dans notre langage habituel des fonctions, en appelant x la variable temps et y la distance parcourue,
le phénomène est décrit par la fonction f définie sur [0 ; 0,5] par f (x) = 0,5 g x² = 4, 905 x²
représentée par un arc de parabole