A quoi servent les fonctions..?

[jumera]

Bonne question...

Ce sujet montre une utilisation des fonctions...
... dans les statistiques

Dans "la vie de tous les jours", nous sommes assaillis par les statistiques... Tout commence par un relevé de données... On obtient une série statistique qu'on visualise dans un tableau de valeurs

Le plus souvent, ce sont des tableaux chronologiques
c'est-à-dire qu'ils montrent l'évolution d'une valeur au cours du temps

Exemples :
• Le chiffre d'affaires d'une entreprise à chaque trimestre
• Le nombre de vaccins de la grippe effectués chaque jour
• La recensement d'une population chaque année
• Le pourcentage de réussite au Baccalauréat chaque année
• La distance parcourue dans un long trajet chaque heure
• Le nombre d'inscriptions à WhatsApp chaque mois
• Le pourcentage de la batterie d'un smartphone au cours de la journée

Ces valeurs dépendent du temps
Ces valeurs sont fonction du temps

: Complément : -->(Voir)

Ces valeurs peuvent aussi dépendre d'une variable autre que le temps
des valeurs qui sont fonction d'une autre variable que le temps

Exemples :
• La tension d'un courant électrique en fonction de son intensité
• Le nombre d'abonnés à Instagram en fonction de l'âge
• Le salaire en fonction de l'ancienneté
• Le prix d'un objet en fonction du nombre d'objets fabriqués

En Mathématiques, on schématise tous les exemples possibles en utilisant 2 lettres x et y On appelle la valeur y et la variable x Ainsi y dépend de x y est fonction de x

[jumera]

Un tableau de valeurs peut se représenter graphiquement par un nuage de points

Dans le fichier suivant :
• Déplacer les points pour modifier les valeurs
• Cliquer sur le bouton orange, pour switcher de l'exemple concret à la schématisation mathématique...

[jumera]

Il est très rare dans la "vie de tous les jours" de voir des graphiques avec des nuages de points...

Quand on en voit un, on a spontanément envie de relier ces points
pour voir une courbe...
Une jolie courbe bien sûr... une courbe la plus "lisse" possible...

Dans le fichier suivant :
• Cliquer dans les cases à cocher pour voir (cacher) le tableau de valeurs, le nuage de points et la courbe
• Déplacer les points pour modifier les valeurs
• Cliquer sur le bouton orange, pour switcher de l'exemple concret à la schématisation mathématique...




Une courbe, c'est plus joli, plus "visuel"...
On voit mieux l'évolution du phénomène...

Et puis surtout, comme la courbe est formée d'une infinité de points
on peut estimer des valeurs qui n'avaient pas été relevées dans la collecte initiale des données !

Question : Quel était le CA à la mi-Août 2024 ?
A l'aide de la courbe, on peut estimer ce CA

: Aide : -->(Voir)

Il suffit de lire l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 3,5

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Mais notre courbe...
... est la représentation graphique d'une fonction f

Et à toute fonction est associée une formule !

Quel est l'intérêt d'avoir la formule de la fonction f..?
Et bien, au lieu de lire le graphique "à peu près", on peut faire des calculs précis !

: Exemples : -->(Voir)

Voilà 5 exemples :
• En classe de Seconde : Donner une estimation d'une valeur non donnée dans le tableau initial
Par exemple, pour estimer le CA à la mi-Août 2024
on cherchera y quand x = 3,5 c'est-à-dire qu'on calculera f(3,5)

• En classe de Seconde : Donner une estimation de la variable pour une valeur non donnée dans le tableau initial
Par exemple, pour estimer à quelle date le CA était de 4 millions d'euros
on cherchera x quand y = 4 c'est-à-dire qu'on résoudra l'équation f(x) = 4
(il peut y avoir plusieurs solutions...)

• En classe de Seconde : Faire des prévisions
Par exemple, pour prévoir le CA pour le trimestre suivant (26T1)
on cherchera y quand x = 6 c'est-à-dire qu'on calculera f(6)

• En classe de Première : Donner une estimation de la valeur maximale (ou minimale)
Pour cela, on étudiera les variations de la fonction en utilisant la dérivée

• En classe de Première : Donner une estimation de la vitesse de (dé)croissance
Encore la dérivée...
Par exemple le 31 mars 2024, la vitesse de croissance est f ' (2)

un tableau de valeurs est représenté graphiquement par un nuage de points Mathématiquement on peut MODÉLISER le phénomène étudié par une courbe continue qui représente une fonction La formule de cette fonction permet, par le calcul, de faire des estimations ou des prévisions

La recherche de la formule d'une fonction définie par une courbe, est difficile...
et la formule peut-être très complexe..!

On peut trouver des formules "simples" de fonctions
mais leurs courbes ne passent pas forcément par tous les points du nuage
mais au plus près des points du nuage

Au lycée, l'objectif n'est pas de trouver la formule d'une courbe (sauf cas très simples...)
L'objectif est de savoir étudier les fonctions à partir d'une formule
pour résoudre des problèmes…

: Les tableurs : -->(Voir)

GeoGebra et les tableurs (Excel, OpenOffice, Numbers, etc)
proposent différents modèles pour obtenir ces courbes

Ces courbes sont appelées "courbes de tendance" ou "courbes d'ajustement"

Généralement, les courbes obtenues avec ces modèles
ne passent pas forcément par tous les points du nuage
mais passent au plus près des points du nuage

Dans la pratique, chacun choisit le modèle le plus pertinent...
(voir ici...)